方程与代数式

1. 多项式恒等: $x$取任意值时$Q(x)$与$R(x)$都相等, 则称$Q(x)$与$R(x)$恒等. 记作$Q(x)\equiv R(x)$.

   多项式恒等定理: 一直两个次数均不超过$n$的多项式$Q(x)$与$R(x)$, 若$x$取$n+1$个不同值时有$Q(x)=R(x)$, 则有$Q(x)\equiv R(x)$.

2. 余数定理: $f(x)\equiv f(a)\quad(mod\ x-a)$

   因式定理: $f(a)=0\Lrarr x-a|f(x)$

3. 整系数多项式的有理根定理
   设$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$为整系数多项式,

   而$\frac{r}{s}$为其有理根, 其中 $ r,s$ 互素, 那么必有:

   $s|a_n,\ r|a_0$

   *若$a_n=1$, 则所有有理根都是整数.

4. 韦达定理:

   若一元 n 次多项式$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$的根为$x_1,x_2,\cdots,x_n$, 则有:
   $x_1+x_2+\cdots+x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n}$
   $x_1x_2+x_2x_3+\cdots+x_{n-1}x_n=\frac{a_{n-1}}{a_n}$
   $x_1x_2x_3+x_2x_3x_4+\cdots+x_{n-2}x_{n-1}x_n=-\frac{a_{n-3}}{a_n}$
   $\cdots\cdots$
   $x_1x_2\cdots x_n=(-1)^n\frac{a_0}{a_n}$