三次函数

三角函数

单调性

对于三次函数 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\ \ (a>0)$. 其导函数为 $f'(x)=3ax^2+2bx+c$ , 判别式为 $\Delta=4(b^2-3ac)$.

1. $\Delta=4(b^2-3ac)\leq0$, 则 $f'(x)\geq 0$, $f(x)$于 $\mathbb{R}$ 上单调递增.
2. $\Delta=4(b^2-3ac)>0$, 则 $f'(x)$ 存在两零点$x_1,x_2$, $f(x)$ 于 $(-\infty,x_1)$ 和 $(x_2,\infty)$ 上单调递增, $(x_1, x_2)$ 上单调递减.

极值

1. $\Delta=4(b^2-3ac)\leq0$, 则 $f'(x)$ 无变号零点, $f(x)$ 于 $\mathbb{R}$ 上无极值.
2. $\Delta=4(b^2-3ac)>0$, 则 $f'(x)$ 存在两零点$x_1,x_2$, $f(x)$ 于 $x=x_1$ 取极大值, 于$x=x_2$取极小值.

零点个数

1. $b^2-fac\leq 0$, 方程 $f(x)=0$ 恰有一个实根, 函数 $f(x)$ 恰有一个零点.
2. $b^2-fac> 0$, 且$f(x_1)\cdot f(x_2)>0$, 方程 $f(x)=0$ 恰有一个实根, 函数 $f(x)$ 恰有一个零点.
3. $b^2-fac> 0$, 且$f(x_1)\cdot f(x_2)=0$, 方程 $f(x)=0$ 有两个不等实根, 函数 $f(x)$ 有两个零点.
4. $b^2-fac> 0$, 且$f(x_1)\cdot f(x_2)<0$, 方程 $f(x)=0$ 有三个不等实根, 函数 $f(x)$ 有三个零点.

若方程$ax^3+bx^2+cx+d=0(a\neq 0)$的解为$x_1,x_2,x_3$,

则有$ax^3+bx^2+cx+d=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)$.

右边展开, 再比较系数可得:

$x_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}$

$x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=\frac{c}{a}$

$x_1x_2x_3=-\frac{d}{a}$

这个结论叫三次方程的韦达定理.

对称性

定理: 三次函数 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d(a\neq 0)$ 的图像关于点$(-\frac{b}{3a},f(-\frac{b}{3a})$对称.

[证明]:

注意到 $f(x)$ 可化为 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d=a(x+\frac{b}{3a})^3+(c-\frac{b^2}{3a})(x+\frac{b}{3a})+f(-\frac{b}{3a})$.

令 $g(x)=ax^3+(c-\frac{b^2}{3a})x$, 则 $f(x)=g(x+\frac{b}{3a})+f(-\frac{b}{3a})$,

易知 $g(x)$ 为奇函数, 其图像关于原点对称, 所以 $f(x)$ 的图像关于点 $(-\frac{b}{3a},f(-\frac{b}{3a}))$ 对称.

结论说明, 任意一个三次函数都有对称中心, 且对称中心的横坐标就是导函数图像的对称轴, 又是两个极值点的中点, 也是二阶导数的零点 (拐点就是对称中心).

三次函数的解析式

1. 一般形式: $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d(a\neq 0)$.
2. 易知函数图像的对称中心为 $(m,n)$, 则 $f(x)=a(x-m)^3+b(x-m)+n(a\neq 0)$.
3. 易知函数图像与 $x$ 轴的三个交点的横坐标分别为 $x_1,x_2,x_3$ , 则 $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(a\neq 0)$.
4. 易知函数的图像与 $x$ 轴的一个交点的横坐标为 $x_0$, 则 $f(x)=(x-x_0)(ax^2+mx+n)(a\neq 0)$.

切割线性质

定理: 如图所示, 点 $P$ 是函数 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d(a\neq 0)$ 图像上任意一点(非对称中心), 过点 $P$ 作切线 $PT$ 和割线 $PAB$, 点 $A, B, T$ 均在 $f(x)$ 的图像上, 则 $x_A,x_T,x_b$ 成等差数列, 即 $x_t=\frac{x_a+x_b}{2}$.

[证明]:

设 $y=ax^3+bx^2+cx+d(a\neq 0)$ ,

直线 $PT$: $y-k_0x+m_0$,

直线 $PAB$: $y=kx+m$,

联立 $y, l_{PT}$, 由韦达定理得 $2x_T+x_P=-\frac{b}{a}$,

同理可得 $x_A+x_B+x_P=-\frac{b}{a}$,

所以有 $2x_T=x_A+x_B$,

故 $x_A,x_T,x_B$ 成等差数列.